Jeg kender dilemmaet.
Min hest havde et sår i munden og kunne ikke rides med bid og fik derfor hackamore på. Min part er ikke så dygtig, så hver eneste gang hun red med hackamoren stod jeg og holdt øje. Hendes underviser mente det ville være rigtig godt hvis hun fortsatte med bruge hackamore, dog kunne hun slet ikke kontrollere den med vægt, ben og sæde - så jeg fik hende pænt forklaret at nu havde vi forsøgt, men at hun havde brug for mere tid med bid, inden hun havde kontrol nok til at ride bidløst. (min part er stor stor fan af bidløs ridning)
Det er også rigtigt at hvis en hackamora (uanset type) kan skade næseryggen - hvis den vel og mærke sidder og/eller anvendes forkert.
Jeg tror lige som Pernille ovenfor at det ikke er en løsning at sige det direkte til hende at hun ikke rider din hest godt nok - i hvert fald ikke hvis I fortsat skal være gode veninder.
Du kunne muligvis forsøge at prøve nogle flere forskellige bid og se om hesten vil acceptere det. Evt. æble- eller kobberbid suger mange godt på. Dog har jeg haft stor succes med et tykt gummi-stangbid til min springhest. Det er jo en jungle at finde rundt i.
En anden mulighed, som jeg også har prøvet (med succes), er at du under hackamoren kan ligge et alm bid i en nakkestrop fra en kandar-trense, og så sammenkoble hackamore og bid med en deltastrop. Så får du halv effekt at begge dele.
Ellers kunne du bede hende om at modtage undervisning når hun rider med sidepull, og hvis det stadig ikke går og han fortsat render afsted med hende - så stopper hun vel med at ville ride af sig selv.
Beslutter du dig at du ikke synes hun skal ride den længere, så i stedet for at sige at det er fordi du ikke synes hun rider godt nok, kan du jo bare sige at du gerne vil have at det kun er dig der påvirker ham, eller at du hellere vil have at han får et par fridage om ugen.
Men kender alt for godt selv, og man synes aldrig at nogen anden der rider ens egen hest bedre end sig selv 
Håber du finder en løsning, for det er ikke et nemt problem at løse.
Mvh. Sandra